关键词：弹塑性弯曲，应力，中性层，弹性应力
1.引言
学术界一直都在讨论着这样一种问题，在以应变中性层为界的情况下，板料在弯曲的时候致使外层纤维受到拉力的作用而厚度变薄，内层纤维受到的压力增加而加厚。关于板料的大曲率塑性弯曲，中性层向内部移动，内移造成变薄的外层逐渐增大，内部的增厚区相应的逐渐减小。内层的增厚度小于外层的变薄度，致使弯曲板料变的更薄。参考到的许多本文献都认为塑性应变中性层的内移度小于塑性应力中性层的内移度。上面所述是在不计算弹性变形的情况，因为初始应变中性层变长从而产生拉应变，而拉应力是产生拉应变的唯一因素，所以推出塑性应变中性层的内移度小于塑性应力中性层的内移度。然而弹性变形始终是随着板料的弯曲而变化的，这其中还存在一个弹性应变中性层。时至今日仍然没发现有文献在论述中性层的时候将弹性变形也给考虑进去。在中性层内移的情况下，板料在加载中还有一个局部卸载，在Baushinger效应的影响下，塑性变形时材料卸载和加载规律是相异的。按照一般的弹塑性理论来讲，在求解变形区应变及应力中性层的时候，省略了弹性变形，再加上不考虑Baushinger效应对整体的影响，最后当然得出的应变应力中性层的位置和应力应变规律是不精确的。再者，由传统理论得出的切向应力在中性层处不是连续的。不过事实上材料是一个连续体，其应力的变化也应该是一个连续函数，没有产生阶跃的可能性，所以在拉应力和切向压应力作用区域之中一定有一个应力是零的分界层，这个分界层就是应力中性层，但这不是传统理论认为的“应力发生突然变化或应力不连续的层”如此所描述的中性层。因而，在研究U形件成形的过程中，应变中性层理论具有着不可忽视的作用。
2.弯曲模型
我们在分析问题之前首先设定以下基本条件：板料的弯曲必须是弹塑性弯曲变形，弯曲之后变形区域的截面应该还是平面，纯塑性变形体积和纯弹性变形板料厚度均保持不变。板料弹塑性弯曲见示意图1。在弯曲过程的最初阶段，外弯曲力矩数值比较小，材料的屈服极限值大于板料变形区内外表面上所引起的应力数值，弹性变形只是在板料的内部进行，这阶段我们称其为弹性弯曲阶段。图1a所示的是变形区切向应力，在外弯曲力矩数值持续增大的时候，首先达到屈服极限值进而产生塑性变形的是板料变形区内外表面的应力，而且此种变化逐渐自内表面向中心发展。这个阶段被我们叫做弹塑性弯曲阶段。图1b所示为变形区切向应压力，它总的变形是塑性与弹性变形的相加。为了分析更加方便，我们可以把弹塑性变形分割成两部分，即纯塑性变形和弹性变形来进行讨论。
图1 板料弹塑性弯曲示意图
3.弹性弯曲应力应变中性层
以前的一般传统理论，大部分是很模棱两可的认为截面形心和弹性应变力中性层重合。可从事实上来讲，依据平面曲杆理论，关于大曲率弹性弯曲，曲杆截面形心与其应力应变中性层不重合，却是变形的程度逐渐增加而向内部移动。对于板料大曲率弯曲，他的弹性变形部分与平面弯曲条件相符合，所以，板料大曲率弹塑性弯曲中弹性变形这一部分完全可以看做是平面曲杆性弯曲。依据平面曲杆理论，它的应力应变中性层曲率半径为：
（1）式中：ρ0——板料弹性弯曲应力应变中性层曲率半径；t——板料厚度；r——板料内圆角半径。
从上面的式子可以看出来，随着弯曲半径的减小，也就是说弹性变形程度的增加，中性层内移量逐渐增大。
4.塑性弯曲应力应变中性层
弹性应力应变中性层位于截面中心的时候，变形程度比较小,而截面中心处包括应变中性层和应力中性层，也就是说弹性应力应变中性层、塑性应力中性层和应变中性层三者互相重合。随着弹性区域的不断缩小，变形程度逐渐增加，塑性变形区也是呈逐渐递增的趋势。根据平面曲杆理论，当d/t≤5时,弹性应力应变中性层逐渐向内部移动。在这个时候，在弹性应力应变中性层和截面形心中间有着弹性应力所引起的拉应变层，如图所示。
假如令ρ0=r,即弹性应力应变中性层内移到板料内表面（弹性区域消失），这时应力应变中性层曲率半径变为：
从上面的分析可以得出这个结论，弹性变形区域存在并且一直存在于板料的整个弯曲过程中，这的确非常符合金属材料在成形的时候的弹塑性规律，其切向应力分布如图所示。
板料大曲率塑性弯曲过程中，由于弹性区域的存在，在瞬时应力应变中性层和在初始应力应变中性层（位于伴料截面中心）之间存在由弹性应力所引起的拉应变（如图1所示）。如果假令弹性应力应变中性层和塑性应变中性层互相重合，这样在初始应力应变中性层和初始应力应变中性层中间存在有可能由弹性应力引起的产生的拉应变[3]。关于弹性应力应变中性层和塑性应变中性层重合的假设将在下面的论证中可以证明。
设弯曲前板料长、宽、厚分别为l、d和t,弯曲后成为外半径为R、内半径为r、厚度为t1的形状。由于平常来说板料弯曲相对厚度d/t>3,也就是宽板弯曲，如此假令板料的变形为平面变形。在根据塑性变形体积不变条件可得：
ldt=d(R2-r2)α/2
由式中可以看出，相对圆角半径r/t与变薄系数有关。表1列出了在不同相对弯曲半径下，由公式计算出的变薄系数、文献提供的实验数据及文献提供的理论依据。
表1计算得变薄系数与文献所给变薄系数比较表
| r/t | 0.01 | 0.25 | 0.5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 计算得 | 0.0819 | 0.89 | 0.839 | 0.97 | 0.989 | 0.994 | 0.996 | 0.997 |
| 文献[4] | 0.082 | 0.87 | 0.92 | 0.96 | 0.99 | 0.992 | 0.896 | 1 |
| 文献[5] | 0.08 | 0.785 | 0.836 | 0.872 | 0.89 | 0.895 | 0.997 | |
| 计算的与文献[4]误差（%） | 0.012 | 2.2 | 2.1 | 1.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.2 |
| 计算的与文献[5]误差（%） | 2.04 | 0.46 | 0.53 | 0.2 | 0.1 | 0.2 | 0 |
从表1可以得出如下结论，用公式计算出的变薄系数与文献[4]的实验值以及文献[5]的理论值误差特别小，尤其是在r/t大于1时，误差不没有超过0.2%,在r/t取3～5时，影响基本上不存在。这就说明了一个问题，弹性应力应变中性层和板料大曲率弹塑性弯曲应变中性层重合的假设是正确的。
开篇的时候就已经研究过，金属板料的弯曲变形是一个不间断的过程，并且变形体实际上也是一个连续体，应力不会更不可能产生跃阶，因此存在切向应力为零的层也就是应力中性层，这种情况是塑性应力和弹性应力互相叠加的结果。因为在变形过程中弹性区域是一直存在的，所以弹性应力中性层也是一直存在。如此叠加后总的切向应力为零的层必然与弹性应力中性层重合。
结论
（1）在板料弯曲过程中弹性区域是一直存在的，在其局部卸载中不产生Bausginger效应。
（2）板料在塑性应变中性层和大曲率弹塑性弯曲塑性应力中性层向内部移动，与此同时和弹性应力应变中性层重合。
（3）利用平面曲杆理论来分析板料大曲率弹塑性弯曲这个课题完全有可行性的操作性，依据其计算出的变薄系数是完全合理的。事实上，对于相对弯曲半径较大（r/t>5）的板料的弹塑性弯曲，塑性应力应变中性层和弹性应力应变中性层大概与截面形心重合，板料厚度基本上不变，与计算的结果基本一致。
（4）从变薄系数比较表可以看出，文献中的结果与利用公式计算的变薄系数无限接近，然而计算过程却要简单很多。所以计算板料大曲率弹塑性弯曲的变薄系数用平面曲杆理论还是很具有操作性的。
参考文献
[1]李硕本．冲压工艺学[M]．北京：机械工业出版社，1987,5
[2]秦泗吉．宽板弯曲问题的应力中性层和应变中性层[J]，燕山大学学报，2002,26(3):213 ～215
[3]刘鸿文．材料力学[M]．北京：高等教育出版社，1991,8
[4]肖景容等．冲压工艺学．北京：机械工业出版社，1994,5
[5]胡世光．板料冷压成形原理．北京：国防工业出版社，1997,7
