关键词：齿轮，啮合，有限元
1.齿轮建模
进行有限元仿真计算之前，要建立齿轮啮合系统的三维模型。由于齿轮啮合系统较为复杂，尤其是精确的描绘齿轮轮廓曲线难度较大。如果直接在ABAQUS有限元分析软件中建立研究对象的三维实体模型，工作量大，精度不高，同时耗费大量的时间与精力。通用三维实体建模软件CATIA是一款基于“特征”的参数化建模软件，可以通过先创建参数及关系，然后利用这些参数创建出齿轮模型，并且可以通过修改参数值来改变齿轮的形状。因此，本文采用三维实体建模软件CATIA来建立三维模型，编写通用的直齿圆柱齿轮建模程序，然后利用CATIA与ABAQUS之间的通讯接口将系统模型导入到ABAQUS软件中。建立齿轮啮合系统模型的难点在于齿轮轮廓的精确绘制，该轮廓曲线为一条渐开线，渐开线的数学模型如图1所示。
图1 渐开线数学模型
渐开线的极坐标方程为
通过计算得出各点坐标。
齿根过渡曲线也较为复杂。根据加工齿轮所用的刀具参数及加工方法的不同，实际中齿根过渡曲线可能具有不同的形状，但应满足两个基本条件：不发生根切，不产生应力集中。由于齿根过渡曲线不涉及到接触问题，故本文中采用满足上述条件的简化的齿根过渡曲线，即采用半径为1.14mm的圆弧来代替。齿轮轮廓图形如图2所示。
图2 齿轮轮廓曲线
使用同样地方法再绘制出一个相同的齿轮模型及传动轴，将其导入到ABAQUS软件中，通过移动和旋转一对齿轮模型，使它们正确啮合，就完成了齿轮系统的三维实体建模。
2.建立接触模型
（1）选择单元类型ABAQUS具有丰富的单元库，单元种类多达433种，共分为8个大类。每种单元都有其优点和缺点，尤其在特定的使用场合，使用者可以根据不同的需要进行选择。提高求解精度和缩短计算时间是一对永恒的矛盾，如何根据不同的问题类型和求解需要，为模型选择出最合适的单元，用尽量短的计算时间得到尽量精确的结果，这是使用ABAQUS过程中一个复杂而重要的问题。
本文算例中使用的是不可压缩性材料，因此，不能使用二次完全积分单元，否则会出现体积自锁问题。又由于存在接触和弯曲变形，经过多次尝试后，决定使用扫掠网格划分技术产生的Hex单元C3D8I。
（2）添加材料属性
添加齿轮轮盘的材料为金属钢，为各向同性材料，弹性模量为2.06GPa，泊松比为0.3。
（3）定义边界条件和载荷
在接触问题中，边界条件对计算结果具有较大的影响，本文模拟计算在静力载荷作用下，轮齿的变形情况，因此，定义被动轮内表面完全约束，即自由度为零。而主动轮上只具有绕Y轴的旋转自由度，并在该自由度上施加顺时针方向100Nm的载荷。
（4）划分网格
网格的划分是本算例的难点之一。生成的网格要求疏密有度，如果过于粗糙，则会造成结果不精确，甚至不收敛。网格划分得过于精细，则会浪费大量的时间，加大计算成本。本算例中采用了较为合理的网格划分策略，在发生啮合的轮齿接触区域附近网格划分较为细致，其它部分的轮齿网格划分相对粗糙，但也能使计算收敛。经过验证，如图3所示的这种网格划分策略既能满足计算精度的要求，又能最大可能的减少计算时间。
图3 有限元网格划分
3 计算结果
将上述建立的CAE模型提交，利用ABAQUS有限元软件进行计算，得到齿轮轮齿及轮盘上的位移云纹图。对一个啮合周期共计40个不同啮合位置进行了计算，得到的位移云纹图如图4所示，鉴于篇幅的原因，本文只列举第5啮合点和第20啮合点计算结果应力和位移云图。
图4第5啮合点啮合应力分布
由啮合刚度的定义，可以得到齿轮啮合刚度随啮合位置变化的仿真结果，如图5所示。由上述理论计算和有限元仿真结果可知，两者的变化趋势吻合较好，但幅值的误差在15%左右。这表明理论计算的算法过于简化，仍然有改进的空间。为了验证计算和仿真中所施加100Nm力矩的合理性，在同一个啮合位置，采用不同的输入力矩进行计算，力矩范围为50Nm到150Nm，得到输入力矩和扭转角度的关系如下图6所示。由上图6可以得出，在同一啮合位置，扭转角度随着输入扭矩的增加呈线性变化，也即其刚度݇是一个恒定的值。这说明上述仿真计算中，输入100Nm的力矩是合理的。
图5 啮合刚度变化仿真结果与理论计算结果对比
图6 同一啮合位置不同输入扭矩转角变化
参考文献
[1] 李明，孙涛，胡海岩. 齿轮传动转子—轴承系统动力学的研究进展[J]. 振动工程学报,2002,15（3）
[2] 崔亚辉，刘占生，叶建槐等.复杂多级齿轮—转子—轴承系统的动力学建模和数值仿真.机械
传动，2009,06
